文 献 综 述
1 前言
如今无论是数学系学生还是其他理工科学生,都或多或少学习过最基础的线性代数知识,在学习过程中遇到最多的就是矩阵这个概念了,在中国期刊全文数据库（CNKI）以“矩阵”作为主题搜索文献得到28.8万多条结果,特别是近十年来,每年都有近2万篇成果.由此可见矩阵理论在当今科研领域里有着多么重要的地位.但是作为数学系的学生,在课堂上也仅仅了解到矩阵最基本的运算和性质,对矩阵理论并没有太多的概念,所以需要更进一步的了解.
本课题的目的是探索由矩阵形成的自伴代数的基本性质,并讨论自伴矩阵代数在数学、物理学等其他分支中的应用,课题的任务是探索自伴矩阵代数的基本性质,函数矩阵形成的自伴代数的性质,给出自伴矩阵代数的理想与商代数结构的刻画,讨论自伴矩阵代数在拓扑学、图论以及量子力学中的应用.在看文献、学习课外知识的过程中,了解现代矩阵理论.
2 综述
2.1 国内外发展综述
矩阵是数学中一个非常重要的概念,这个概念出现于19世纪50年代.前人做了很多相关的研究工作,但得到的都是一些零散的结论,并没有形成一个系统性的理论.直到英国数学家凯莱（1821—1895）在研究线性变换的时候才把矩阵作为一个单独的概念提出来,创立了矩阵理论.为这个理论发展做了大量奠基性工作的还有西尔维斯特、弗罗宾纽斯等数学家.矩阵理论的发展非常迅速,到19世纪末,矩阵理论体系已基本形成.到20世纪,矩阵理论得到了进一步的发展.矩阵由最初的一种工具成为了现在一门独立的数学分支——矩阵论.矩阵不仅是各数学学科,而且是很多理工学科的重要数学工具.矩阵理论和线性代数的创造性发展,推动和丰富了其他众多学科中新理论、新方法和技术的诞生与发展,例如力学、信号处理、通信、电子、模式识别、土木等等.
虽然说矩阵最初是在中国古代产生的萌芽,但我们并没有把它发展成为一门系统的科学,矩阵以及其它很多重要的数学概念和理论还是后来从西方传入国内的,我们保留着自己的传统数学并吸收了他们的精华.这些新概念、理论给中国传统数学注入了新的活力,推动了中国数学的发展.
2.2 文献内容综述
首先要说的是北大数学系编写的《高等代数（第三版）》.本书是数学系一年级学习基础课程时用到的教材.相比于老版本,现在只留下了多项式理论和线性代数基础两部分内容,而把群、环、域的代数基本概念放到了后续的近世代数课程中.总体来说,它的说理是清晰易懂的.美中不足的是,它只重点考虑了空间自身上的线性变换,并没有讨论一般线性空间的线性映射.现在看来，关键在于其中线性代数的内容强调从线性空间、线性变换的角度来理解线性向量、矩阵、方程组,而不仅仅是要学会运算和求解,这些体会在阅读了两篇外文文献后就更深了.然后谈到的是聂灵沼、丁石孙著的《代数学引论》,它介绍的主要是近世代数的内容,相比于杨子胥的《近世代数》,它介绍了除了群、环、域以外的第四个基本代数结构——模,以及伽罗瓦理论.在内容讲述方面,也较深刻一些.我们知道要用代数知识的科学工作者以及数学工作者都要了解这四个基本代数结构,而且我们在看其他代数方面的文献时,如果没有近世代数的基本知识也是有困难的.近世代数也有实际应用的背景,如晶体群,量子力学,对称性等等.
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