文 献 综 述
曲线是计算机图形学研究的重要内容，它是描述物体外型，建立所画对象的数学模型的有力工具。1962年，法国雷诺汽车公司的工程师P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线与曲面的设计方法，以这种方法为主，建立了一种曲线与曲面设计系统UNISURF。1963年，MIT林肯实验室24岁的萨瑟兰完成了关于人机通信的图形系统的博士论文。萨瑟兰引入了分层存储符号的数据结构，开发了交互技术，可以用键盘和光笔实现定位、选项和绘图。1974年，计算机辅助几何设计[1]，简称CAGD，这一专业术语首次由巴恩希尔和里森费尔德在美国犹他大学召开的一次国际大会上提出。在此之前，工程设计师们在使用计算机画图时大部分时间都是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。Bezier方法[2]将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上运用起来就像使用常规作图工具设计一样得心应手，而与常规作图工具设计相比，Bezier曲线有很多更好，更方便用于曲线和曲面设计的性质，并且也更容易实现，因此，Bezier曲线在各种CAD/CAM系统，大多数图形系统，相关绘图和图形软件包中都有广泛的应用。
Bezier曲线是由一组折线集或称之为Bezier特征多边形来定义的[3]，折线端点为控制顶点，用Bernstein基函数与相应的控制顶点线性组合生成Bezier曲线。一般来说，Bezier曲线可以拟合任何数目控制点，Bezier多项式的次数决定于曲线将逼近的控制点数量及相关位置，在多数情况下，Bezier曲线是一个阶数比控制点少1的多项式。在利用Bezier曲线造型时，如果阶次太高，固然能表示复杂的造型，但容易造成计算复杂度的增加，控制顶点增多，形状也不易控制。而二次Bezier曲线表现能力有限，所以最常用的就是三次Bezier曲线。传统三次Bezier曲线生成算法利用Bezier曲线的分割定理[4]，即任意的Bezier曲线都能分割为两段阶次相同的Bezier曲线。分割后得到的曲线的控制顶点与曲线的距离将会更近，如果不停的分割，将会得到一系列分割后的Bezier曲线及其控制顶点，当控制顶点和曲线之间的距离小于指定的很小正数ε时，就可以用这些控制顶点的连线所组成的折现近视代替曲线。Bezier曲线的最大优点是如果控制点构成凸多边形时，Bezier曲线也是凸的，所以要将曲线升高或降低，只要将一个控制点升高或降低即可，计算十分方便。因此，Bezier曲线是曲线拟合很好的工具。如何快速地绘制出各阶得Bezier曲线，是目前广泛研究的一个课题。
从目前的对Bezier曲线的研究情况来看，研究的方向主要分为以下三类。一类是对现有的Bezier曲线生成算法进行改进，提高算法效率，使得计算机能快速绘制出各阶Bezier曲线，如：孙庆生[5]等人在传统的三次Bezier曲线生成算法基础上提出，若将判定条件中求点到线的距离改为求小三角形的面积，则由于原算法需要两次用到矢量叉乘计算点到线的距离，而改进后的算法只需用到一次矢量叉乘，计算量降低了一半，算法效率显著提高，而且经过实验验证，绘制出的曲线效果良好；代文猛[6]等人提出一种对于N次Bezier曲线较为实用的快速逼近方法，该方法通过对Bezier曲线反复进行定比分割，使其控制多边形逐步收敛于原Bezier曲线，其他Bezier曲线绘制的快速算法参考文献[7-11]；一类是研究Bezier曲线的拼接及连续性[12-13]，在工业设计中往往会遇到外形复杂的曲线曲面图形，通常采取的方法就是进行曲线曲面的拼接，在设计过程中先绘制出各个Bezier曲线段，然后连接生成样条曲线，为了保证各个曲线段在连接点处是光滑的，需要满足各种连续性条件，常用的光滑程度条件主要有两种，一个是组合曲线在连接处要达到n次的参数连续，即连续，另一个是n次的几何连续性，即连续；还有一类是Bezier曲线的扩展，Bezier曲线具有保凸性、对称性等几何性质，又具有插值、升阶、包络生成等德卡斯特利奥计算方法，但是对于给定的控制定点，Bezier曲线是唯一确定的且形状不易改变，同时Bezier曲线也不能精确地表达特殊的曲线段。最近几年来，曲线设计人员从Bernstein多项式出发，在不改变Bezier曲线原有的几何性质的前提下，在多项式中通过各种组合，引入形状参数，如：Oruc[14]等人利用q整数方法建立了一类特殊多项式，并给出了Bezier扩展曲线的表达式，梁锡坤[15]给出了广义的Bezier扩展曲线和曲面的定义。其中应用较广的是CE-Bezier曲线[16]，即三次Bezier扩展曲线。这些扩展后的曲线保留了Bezier曲线的几何属性，但是扩展后的曲线形状可以进行局部修改，进而可以实现比较复杂的曲线曲面设计。因此，研究在控制顶点不变的前提下更加灵活地调整Bezier曲线形状、对Bezier曲线进行扩展有着重要的意义。此外，Bezier曲线的识别[17]，即对已知图中Bezier曲上点的实际坐标，根据Bezier曲线的定义和性质，建立最优化模型，确定Bezier曲线的参数方程，也具有一定的研究价值。
如今工业对复杂产品形状的需求加快了CAGD理论的成熟，Bezier曲线也被应用于各个学科领域，除了在航空、造船、汽车三大领域有重要应用外，它在计算机视觉效果、3D影片制作、机器人设计、建筑业、服装模型等方面都具有极其广阔的应用前景。尽管单段的Bezier曲线已逐渐不能满足工业设计的需求，学习研究Bezier曲线绘制的经典算法和快速算法仍具有重要的意义。
参考文献
[1]王国瑾，汪国昭，郑建明.计算机辅助几何设计[M].北京:高等教育出版社,2001:35-56.
[2]Beacute;zier, Pierre. The Mathematical Basis of the UNISURF CAD System[M]. Butterworth-Heinemann, 1986.
[3]孙家广.计算机图形学（第三版）[M].北京:清华大学出版社,1998:306.
[4]Goldman R. An integrated introduction to computer graphics and geometric modeling[M].CRC Press, 2009.
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