一、文献综述
1. 研究背景
高斯数值积分是一种有效的高精度数值计算方法。在工程数值计算、固体物理学、光电学等领域常用来对难以获得解析解的积分进行数值计算。例如在工程电磁学中常用的贝塞尔函数[1]，如果采用其级数解来计算，需要考虑很复杂的递推稳定性问题；反之，若从它的积分形式出发来计算，采用数个节点的高斯积分，即可获得满意的数值精度[2]。
主要内容
2.1 知识预备
数值积分求定积分的近似值的数值方法，即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。构造数值积分公式最常用的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数由此导出的求积公式称为插值型求积公式[3]。
n个节点的数值积分可表示为
（1）
其中是在积分区间上的正权重函数，与是与函数无关的节点和权重因子。合理选择不同的节点，使数值积分公式（1）对次数的多项式精确成立，即为高斯公式，它的代数精度为。在所有的个节点积分中，高斯积分有最高的代数精度[4]。由此，我们可以看出，高斯积分的重点就是确定高斯积分公式的节点和权重因子，而我们可以通过查找文献来找到相关内容[5~7]。而往往为了获得更精确的积分值，我们就需要找更高层次的积分节点和权重因子。而不同种类的高斯积分公式的积分节点和权重因子的选取也会有所不同，以满足不同种类的需要。现在常见的高斯积分公式有高斯—切比雪夫、高斯—拉盖尔、高斯—勒让德、高斯—厄米积分。
2.2 一维高斯积分的误差分析
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