拉贝判别法的研究与推广文献综述

文 献 综 述

1 拉贝判别法的研究与推广

1.1 研究背景

在数学分析中，数项级数是全部级数理论的基础，主要包括正项级数和交错级数，而正项级数在数项级数中是最基本的，同时也是十分重要的一类级数，具有很强的实用价值和广泛的应用。因此判定正项级数的敛散性问题是研究数项级数的主要课题。研讨正项级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习和理解都有重要作用。正项级数作为数项级数的一个重要组成部分，数项级数的敛散性的判别方法对于正项级数也是适用的，如数项级数收敛性的概念和柯西收敛原理等。在我们学习的数学分析教科书中也学习了一些常见的判别法，也有前辈学者一些判别法做了进一步的研究推广。这些方法的运用起来还是需要一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择合适的方法进行判定。

在级数的讨论中，级数的收敛性和收敛到什么是研究级数的两个基本问题。而收敛性的判定往往更重要,也更困难.即使是最特殊的数项级数,在一般意义上,要对某级数给出一个敛散性判定也需要有一定的技巧.比式判别法和根式判别法是基于要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得到的.也就是说,只有那些级数的通项收敛零的速度比某一等比级数通项收敛与零的速度快的级数,这两种方法才能有效.对于级数的通项收敛于零的速度较慢的级数,它们就无效了.因此为了对范围更大的一类级数进行有效判定就必须寻找更精确的判别方法。

2 数项级数概述及其常见判别方法总结

记称之为级数的弟个部分和。简称部分和。

定义2.1 若数项级数的部分和数列收敛与（即），则称数项级数收敛，称为数项级数的和，记作。

定义2.2 给定一个数列，将它的各项依次用“ ”连接起来的表达式

（2.1）成为数项级数或无穷级数，其中成为级数（2.1）的通项。级数（2.1）简记：或，若则称此级数为正项级数。

正项级数的每一项为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加，从而有了正项级数敛散性的基本判别定理。

定理2.1： 正项级数收敛他的部分和数列有上界。

证：由于所以是递增数列，而单调数列收敛的充要条件是该数列有界，从而此定理得证。

定理2.2 （等比级数判别法）（又称几何判别法）：

(1) 当时，级数收敛；

(2) 当时，级数发散。

定理2.3（级数判别法）:

(1) 当时，级数发散；

(2) 当时，级数收敛。

定理2.4 （比较原则）：设 和是两个正项级数，，则：

(1) 当时，两个级数同时收敛或同时发散；

(2) 当时且级数收敛时，级数也收敛；

(3) 当且级数发散时，级数也发散。

定理2.5 （达朗贝尔判别法的极限形式）：若为正项级数，且，则：

(1) 当时，级数收敛；

(2) 当或时，级数发散；

注：当时，达朗贝尔判别法不能对级数的敛散性作出判断。

定理2.6 （柯西判别法的极限形式）：若为正项级数，且，则：

(1) 当时，级数发散；

(2) 当时，级数收敛。

注：当时，柯西判别法不能对级数的敛散性做出判断。柯西收敛准则：级数收敛的充要条件：当时，有

定理2.7 （积分判别法）：设是上非负递减函数，那么正项级数与非正常积分同时收敛或同时发散。

定理2.8 （绝对收敛定义法）：若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则原级数收敛。

定理2.9 （莱布尼茨判别法）：若交错级数满足下面两个条件：

(1) 数列单调递减；

(2) 。

则级数收敛。

定理2.10 （阿贝尔判别法）：设级数，若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛。

定理2.11 （狄利克雷判别法）：设级数，若为单调递减，且，又级数的部分和数列有界，则级数收敛。

定理2.12 （拉贝判别法的极限形式）：设级数为正项级数，且极限存在，则：

(1) 当时，级数收敛；

1. 当时，级数发散；

(3) 当时，无法判断。

参考文献

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