多值逻辑网络的同步问题文献综述

 2022-11-19 11:11
  1. 文献综述（或调研报告）：

布尔网络是描述基因控制网络的一个有力工具，早在1943年，McCulloch和Pitts就在[1]中称：“大脑可以模拟成逻辑运行的网络，比如lsquo;与rsquo;lsquo;或rsquo;lsquo;非rsquo;等等。”在Jacob 和Monod关于遗传回路研究的基础上，Kauffman在1969年首次提出了用布尔网络来刻画细胞和基因调控网络的理论[2]，并在他的另一本著作[3]中对细胞、基因和布尔网络做了系统深入的理论探讨。在Kauffman的研究中，每一个基因都被表示成有向图中的一个节点，而两个节点间的边则代表了基因间的互相作用。

在布尔网络模型模拟的基因调控网络中，基因的表达分为1和0两种状态。1表示基因的状态为活跃的，0则表示其状态为受抑制的，而基因间变化的布尔函数则表示基因之间的调控关系。随着生物系统理论研究的发展，布尔网络的拓扑结构[4][5][6]、动力学特征[7][8]和生物系统的布尔建模[9][10]等。此外，布尔网络也被广泛的应用于基因控制网络、神经网络和细胞自动机的描述中[11][12]。

但由于布尔网络本质上的确定性，它再摸你遗传过程事将复杂的基因状态用简单的逻辑规则来表示，只能得到一个粗糙的建华模型。例如近年来，随着细胞生物学的发展，我们更多的将同一个染色体上的基因化成组来进行研究，如此用0和1就无法确切地表达该基因组的状态。因此，我们需要引入多值逻辑来解决这样的问题。

多值逻辑系统是在二十世纪二十年代由波兰逻辑学家J.Lukasiewicv和美国数学家E.L.Post各自独立提出的。在电子计算机发展初期，有很多学者致力于用多值逻辑理论来解决计算机与工程中的实际问题。多值逻辑网络是布尔网络的一种自然推广，在很多复杂网络中有广泛的应用，例如多值集成电路[13]等。在上世纪四十年代，学者们致力于研究多值逻辑函数的完备性等结构理论，其中包括k值逻辑函数集的完备性判定问题。随着对于逻辑系统研究的发展，我们在逻辑的矩阵表示下，运用矩阵的半张量积这一新的工具，实现了用代数方法来分析逻辑网络的性质。

程代展在[14][15]中介绍了矩阵的半张量积的基本定义与性质，该方法将普通的矩阵惩罚推广到任意的两个矩阵，弥补了惩罚可交换性、高位矩阵表示等运算的不足。同时，矩阵的半张量积运算可退化到普通矩阵的乘法，因此可以视为矩阵乘法的一种推广。

孟敏等在[16]中基于互连k值网络以及互连高阶k值网络的代数表示研究了其同步，结合定义、不动点和圈给出了k值网络同步的三个充分必要条件。

参考文献：

  1. McCulloch W S, Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity[J]. The bulletin of mathematical biophysics, 1943, 5(4): 115-133.
  2. Kauffman S A. Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets[J]. Journal of theoretical biology, 1969, 22(3): 437-467.
  3. Stuart A. Kauffman. The origins of order: Self-organization and selection in evolution[M]. Oxford university press, 1993.
  4. Aldana M. Boolean dynamics of networks with scale-free topology[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2003, 185(1): 45-66.
  5. Farrow C, Heidel J, Maloney J, et al. Scalar equations for synchronous Boolean networks with biological applications[J]. Neural Networks, IEEE Transactions on, 2004, 15(2): 348-354.
  6. Heidel J, Maloney J, Farrow C, et al. Finding cycles in synchronous Boolean networks with applications to biochemical systems[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2003, 13(03): 535-552.
  7. Bar-Yam Y. Dynamics of complex systems[M]. Reading, MA: Addison-Wesley, 1997.
  8. Akutsu T, Miyano S, Kuhara S. Inferring qualitative relations in genetic networks and metabolic pathways[J]. Bioinformatics, 2000, 16(8): 727-734.
  9. Huang S, Ingber D E. Shape-dependent control of cell growth, differentiation, and apoptosis: switching between attractors in cell regulatory networks[J]. Experimental cell research, 2000, 261(1): 91-103.
  10. Huang S. Regulation of cellular states in mammalian cells from a genomewide view[J]. Gene Regulation and Metabolism: Postgenomic Computational Approaches, 2002: 181-220.
  11. Kurten K E. Correspondence between neural threshold networks and Kauffman Boolean cellular automata[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1988, 21(11): L615.
  12. Barber M N. Phase transitions in two dimensions[J]. Physics Reports, 1980, 59(4): 375-409.
  13. 王守觉. 连续逻辑为电子线路与系统提供的新手段[J]. 电子学报, 1986, 14(5): 1-11.
  14. Cheng D. Semi-tensor product of matrices and its application to MorgenD. problem[J]. Science in China Series: Information Sciences, 2001, 44(3): 195-212.
  15. 程代展, 齐洪胜. 矩阵的半张量积: 理论与应用[M]. 科学出版社, 2011.
  16. Meng M, Feng J, Hou Z. Synchronization of Interconnected Multi‐valued Logical Networks[J]. Asian Journal of Control, 2014, 16(6): 1659-1669.

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