- 选题背景和意义：在实际的工业应用中，我们往往面对噪声对于采样数据的影响，噪声的分布一般是服从于正态分布，所以噪声具有很大的随机性，难以处理，而且目前关于随机噪声下反问题的正则化算法的研究还非常匮乏，或者已存在的算法有一些局限性或者出现精度不足的现象，精度的控制需要对于特定空间上损失函数的估计和算法的收敛性，如何系统，深入的估计已经构造的损失函数，确定构造中的正则参数，并且研究相关算法的收敛性，正则性也是反问题领域需要尽快解决的重要课题，是联系统计反问题与正则化方法的桥梁
二、课题关键问题及难点：1. 如何确立一个正确的，唯一的，使得在某个空间的损失函数最小化的函数，也就是我们要找的逼近函数，如何证明其存在性和唯一性，以及如何利用数值方法求解这个函数。
2. 如何利用概率论与数理统计中的分布，收敛性关系，以及概率不等式来正确并精准地估计算法的误差。
3.估计误差之后，在误差最小化的前提下如何选择正确的正则化参数，使得算法的计算量较小并拥有较高的精度。在应对高样本量（N及其巨大）的情况下，如何合理利用中心极限定理来得到合适的估计以及正则化参数，并且在常用软件上编写成雪是否具有可行性，精度如何。
难点：泛函分析与概率理论的结合应用，处理各种数量等级的观测点和不同函数的正则化参数的选择。
三、文献综述（或调研报告）：利用数值方法计算函数和函数的导数是应用数学上面常见的问题。对于工业上，常常不利用数值方法逼近导函数，因为在原函数中任意一个微小的变化就可能会导致逼近函数的巨大误差。
但是如果利用特定空间的泛函作为损失函数，利用该空间的常用的微分或者积分不等式可以估计到原函数和导函数的误差的上界，那么在一定阶数范围内的导函数的估计也是稳定的，因为导函数的误差也会因此而被这个上界所控制。
此外，由于实际工业中观测值经常会带有服从于特定分布的噪声（大多数为正态分布），会对实际结果产生一定的影响，此时可以利用概率论和数理统计的不等式和一些微分或者积分不等式一起使用，估计带有噪声的观测值的数值方法求解的误差的上界，从而得到想要的结果。
对于正则化参数的选取，可以根据以上的条件反演而得到。
四、方案（设计方案、或研究方案、研制方案）论证：对于带有噪声的线性反问题，比如数值微分，将提出利用三次样条研究反演解与精确解之间误差的置信区间上界估计，同时给出正则化参数的选取准则，然年根据以上的条件，可以得到相关的系数的线性方程组，最后利用软件求出方程组的解，从而得到逼近函数。然后在一维问题的基础上，根据误差情况调节程序，将问题拓展到二维空间上。
五、进度安排：2020.1-2020.2：论文和相关文献的阅读，相关理论得学习展开，完成准备工作
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