粗糙表面的分形表征与模拟
摘要
对各种加工钢表面和有纹理的磁性薄膜圆盘的粗糙度测量表明，它们的形貌是多尺度和随机的。这些表面的功率谱在所考虑的长度范围内遵循幂律。这种光谱行为意味着当表面被反复放大时，统计上相似的表面图像会不断出现。本文将分形维数定义为这种多尺度结构的一种固有性质，并利用Weierstrass-Mandelbrot（W-M）分形函数引入一种新的简单的粗糙度表征方法。
不锈钢表面形貌的功率谱在高频段吻合，对应的分形维数为1.5。据推测，这种巧合发生在小尺度上，因为在这样的尺度下，表面仍未被处理。表面处理，如磨削或研磨，在较低的频率下将功率降低到一定的角频率，高于该频率时所有表面都表现为未加工的表面。
利用W-M函数，对具有统计性质的布朗粗糙表面和非布朗粗糙表面进行定性模拟。
- 引言
粗糙表面的几何结构影响着许多与接触阻力、摩擦、磨损、密封、池沸腾和波散射等工程问题有关的物理现象。通常，假设曲面偏离其平均平面的偏差是一个随机过程，利用高度、斜率和曲率的方差等统计参数表征[1]。然而，据观察，表面形貌是一个非平稳的随机过程[2]，这意味着高度分布的方差与样品的长度有关，因此它对于特定表面来说并非唯一的。粗糙表面还具有几何自相似性和自亲和性[3，4]，通过这些特征，可以在不同放大倍数下看到表面的相似外观。由于粗糙度中越来越多的细节是在逐渐减小的长度尺度上观察到的，因此从本质上假定表面光滑性的斜率和曲率的概念是无法定义的。因此，斜率和曲率的变化很大程度上取决于粗糙度测量仪或其他形式的滤波器的分辨率，因此它们不是唯一的[5]。
在当代文学中，出现了大量的表征参数，以至于“参数皮疹”一词被恰当地使用[6]。这是由于在同一曲面上使用了不同值的初始化方法。因此，有必要用与粗糙度各尺度无关的固有参数来表征粗糙表面。这表明分形维数[3]是一个固有的性质，它与几何自相似性的概念密切相关，因此应用于表面表征。
本文介绍了一种新的表征方法，利用Weierstrass-Mandelbrot（W-M）分形函数获得分形维数和新的表征参数。这些是通过比较表面轮廓谱和W-M函数谱来确定的。通过比较不同不锈钢样品触针表面形貌的光谱与W-M光谱，说明了该方法的简便性。利用这些参数，采用W-M函数对布朗曲面和非布朗曲面进行确定性模拟。
- 分形表征
粗糙表面的自相似性或自亲和性意味着，当测量单位减少时，作为二维物体度量的粗糙表面的表面积趋于无穷大，而三维物体的体积接近于零。因此，粗糙表面的Hausdorff或分形维数D 1是介于2和3之间的分数。本文考虑了均匀曲面和各向同性曲面。表面的均匀性意味着高度随机性的统计分布与表面位置无关。各向同性的性质与坐标轴旋转和任意平面反射下分布的不变性有关。对于这样的曲面，维数D在任意位置和任意方向上沿直线的剖面图在统计学上是曲面的有效表示。
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