文 献 综 述
一、 研究背景与意义
分配风险资产的金融优化模型涉及不确定性下的决策。现代投资组合选择理论来自于[1]中提出的均值方差（MV）模型，并且该方法中涉及的非线性规划问题已成为经典的优化问题。从那时起，大多数作者尝试通过两个标准之间的权衡分析来建立投资组合选择问题的最佳解决方案：最大化（平均）预期收益，最小化结果的可变性和投资的风险。关于第二个标准，当回报正态分布或效用函数最大化为二次时，Markowitz分析风险是适用的。否则，Arditti和Levy在[2]中证明了偏度在离散时间模型中的重要作用。但是可以说，风险最常用的措施是方差，尽管文献[3,4]中已经考虑了其他措施。总体来说，投资组合选择问题的多目标优化性质是不容置疑的，多目标优化技术在解决这些问题上受到了极大的关注[5-10]。
近年来，将投资信息和投资者需求信息纳入投资组合选择问题越来越受到关注，因为并非投资组合选择的所有相关信息都可以通过同时优化收益和风险来获得。因此，为了使其变得更加现实，例如上限和下限约束，允许符合投资者愿望的资产组合，或限制参与投资者资产数量的基数约束投资组合。随着这种限制的引入，投资组合优化问题成为非确定性多项式难题（NP-hard）的多目标问题，传统的优化方法不能被用于寻找有效的投资组合。为了克服这个缺点，进化多目标优化（EMO）算法已经成功应用于许多投资组合选择模型的生成解决方案[8,11-16]。一般来说，EMO算法旨在通过将基于演化的算子应用于解决方案来逼近多目标优化问题（所谓的帕累托最优前沿）的帕累托最优或有效解的集合（更多细节，见[17,18]）。在[15,19]中，提出了关于使用EMO算法来解决投资组合选择问题的综合文献综述，这证明了该研究领域日益增长的兴趣。
二、文献综述
除了平均值和方差之外，一些作者将偏度作为在没有实现收益的对称行为时选择有效投资组合的标准。例如，Lai [5]建议平衡平均值和收益偏度的最大化与方差的最小化的关系。随后，许多论文研究了偏度在投资组合选择中的作用[6,20-22]。随着偏度的引入，投资组合选择问题成为三维的，在这种情况下，目标编程技术[5,23,24]或适当的标量化（单目标）方法[20,25]通常被应用。
通常，解决投资组合选择问题需要两个基本组成部分：（i）用于量化给定投资组合的未来不确定性收益的合适方法，以及（ii）能够适合投资者条件的帕累托最优投资组合的优化程序。关于未来收益，古典投资组合选择问题将资产的预期收益视为问题参数。它们对整个历史数据集中估计，通常假设资产收益的向量是多变量-正态分布。然而，由于金融市场上的信息通常是不完整的，因此决策是不确定性的，其他作者则认为未来资产回报率的不确定性可以通过模糊逻辑来量化[26,27]。在这种假设下，多目标投资组合选择问题可以通过使用软件计算方法和模糊优化决策技术来解决[21,28-32]。
在这方面，Vercher和Bermudez [22]最近已经应用LR型模糊数的可能性分布来量化给定投资组合的不确定收益，其中使用来自历史数据的样本分位数信息构建其成员函数。从投资收益的分布特征出发，作者提出了投资组合选择问题的多目标优化模型，称为可信度平均下降风险偏差（MDRS）模型。MDRS模型中考虑的标准是将未来收益的均值和偏度最大化，并将作为风险度量（下降风险）的平均值以下的绝对半偏差最小化。MDRS模型还包括投资多元化的预算，上下限和基数约束，以及组合投资组合的资产数量的限制。请注意，Vercher和Bermudez [22]引入了偏度，以便对给定投资组合的模糊收益的不对称性进行测量，并研究其在可能的投资组合选择问题中的作用。为此，他们提出通过使用特别设计用于生成MDRS模型的两个替代重组的非主导组合的进化程序来解决受限的多目标优化MDRS问题。这两个重新设计中的每一个都是一个双目标优化问题，其优化了MDRS模型的两个目标，而第三个目标被认为是另外的约束。通过这一点，作者分析了偏度作为一个标准或作为一个约束的影响，得到的结果支持了以前在这方面的研究：将偏度引入为目标，引发了投资组合选择问题帕累托最优前沿的重要变化，从而导致投资模式的变化。
然而，[22]中开发的遗传程序找到有效的投资组合是为了管理双目标优化问题而设计的。因此，可能的MDRS模型作为整体约束的多目标优化问题尚未得到解决。这意味着，在上述模糊建模框架下，同时考虑到上述所有约束条件，并没有同时对三个标准（未来收益的均值，偏度和下降风险）进行优化。据此，本文的主要动机是双重的。首先，我们的目的是解决[22]中建议的可能的MDRS模型作为一个整体约束的三目标优化问题。其次，从整体多目标角度来看，我们的目标是从三个目标之间的关系和权衡中获得有趣的见解。
对于这两个目标，EMO算法特别有用，因为它们可以在一个运行中提供一组非主导的投资组合，从整体上可以从中分析目标函数。但是将EMO算法应用于约束投资组合优化问题需要特别注意处理目标和约束[19]。主要的是，对于MDRS模型，困难来自于由于基数约束，只有有限数量的可用资产参与投资组合，而不是全部。为了克服这一点，一个选择可以是考虑常用的遗传算子，然后应用几种修复机制来有效地管理约束[19]。或者，我们提出了基于进化算子的共同思想，针对MDRS模型生成可行组合的新突变，交叉和修复算子[33,34]。接下来，为了分析MDRS模型并显示所提出的运算符的有效性和潜力，我们比较了带有我们的算子时和具有修复机制的传统算子时的几种EMO算法的性能。对于这种比较，我们考虑了非主导排序遗传算法（NSGAII）[35]，基于分解的多目标进化算法（MOEA / D）[36]和全局加权成就规模化功能遗传算法（GWASF-GA ）[37]。
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