关于T变换及其黑洞数的研究的文献综述
摘要：黑洞数是一类具有神奇转换特性的数字.早期最为著名的黑洞数有以下三种：西西弗斯黑洞数、卡普雷卡尔黑洞数以及水仙花数黑洞数.本文主要通过整理介绍前人对不同类型黑洞数的相关研究成果以及提出一些因局限性而未解决的问题，对黑洞数的相关问题展开综述.并以此作为基本知识背景，在研究展望中提出了一个新的变换，旨在研究自然数在此变换数列下的黑洞数问题.
关键词：黑洞数；卡普雷卡尔黑洞数；重排求差；构造数列；
一、引言及预备知识
黑洞是天文学中的一个概念，代表着这样一种神秘的天体：它的引力场非常强，就连目前已知速度最快的光也不能从中挣扎逃脱出来. 在数学中借用这个名词，用来形象地说明某种运算结果，这种运算通常限定从某些自然数出发，经过若干次的反复迭代后结果必然落入一个数字或若干数字组成的一个“数字黑洞”.其他的一些称呼例如毕达哥拉斯发现的完备数和亲和数、可交往数都属于黑洞数范畴之内，这些数在数字的转换方面具有一些神秘的性质和独特结论. 任何自然数，经过可数次运算操作所得到的数列，总会具有某些特定的性质，或者说总会有黑洞数存在. 早期的黑洞数问题涉及到的运算操作类型繁杂多变，但数学上最为著名的黑洞数问题有以下三种：西西弗斯黑洞数、卡普雷卡尔黑洞数以及水仙花黑洞数（也称水仙花数）.
西西弗斯黑洞数也就是所谓的“123”这个数字黑洞. 俗话说得好，道生一，一生二，二生三，三生万物，数学中看似简单的123，却也有着神奇的地方. 按照下列的运算法则，就能够清晰地观察到这个最简单的数字黑洞的值. 对于任何一个数字，记该数中的偶数个数为，奇数个数为，总个数 = ，然后组合成一个新的数字，将 按照上述运算，不断反复操作，经过有限次数后最后得到的数字一定是123，这个数就是一个西西弗斯黑洞数. 卡普雷卡尔黑洞数是通过“重排求差”的方法得到的，随便输入任意一个三位数，但要求百，十，个位数字不完全相同，如不允许输入666，888等. 之后将这个三位自然数的三个数字按大小顺序进行重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，两者相减得到一个新的数字，之后再按照上述方法进行重新排列，再进行两数相减，最后必然会出现一个看似普通却又神奇的数字495，这个数就是三位卡普雷卡尔黑洞数. 同样可得四位卡普雷卡尔黑洞数是6174. 实际上，把一个各位数字不尽相同的四位数的四个数字按照从小到大的顺序排列，组成一个新的数字，再把这个新的数字顺序相反排列即从大到小排列排列组成一个新的数字，将这两个数字相减，之后重复这个“重排求差”的操作，只要选定的四位数的四个数字不完全相同，最后也必然会出现一个看似普通却又神奇的数字 6174，这个数就是四位卡普雷卡尔黑洞数. 所谓水仙花黑洞数，也称为153数字黑洞. 其具体的运算法则是任意找一个能被3整除的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，即求每一个数位上的数字的立方和，之后得到一个新的数字，然后把这个新的数字的每一个数位上的数字再求立方和，重复这个操作并且运算下去，就能得到一个固定不变的数——153，这个数就是一个水仙花数黑洞数. 上述三种情况所得到的结果，在数学上均称它们为数字“黑洞”.
二、研究现状
随着数学的发展，有着许多新的运算类型，都能找到其对应的黑洞数. 就变换数列的黑洞数问题而言，已经很大程度引起了广大数学爱好者的广泛关注. 例如：关于卡普雷卡尔黑洞数的一些早期研究结果，可参见文献[1-3]. 1999年，史可富和王明强[4]研究了自然数数码平方和问题. 他们先给出了一个集合{ 4 , 16, 37 , 58 , 89, 145,42 ,20 }，这个集合中的数字有一个有趣的性质：前一个数的各位数码平方之和等于后一个数, 而最后一个数的数码平方数之和等于第一个数, 作者称这些数为可交往循环数，并在之后得出一个结论：对每一个给定自然数，若其各位数码平方之和记为，的各位数码平方之和记为，···，的各位数码平方之和记为构成一个数列.相应数列存在. 当时，要么， 要么属于集合{ 4 , 16, 37 , 58 , 89, 145, 42 , 20 }中的某一个元素，也即当时，，, hellip;, 在给出的可交往数中依次循环出现. 该研究主要在于证明了以下三个引理：
引理1.1 当时，相应数列 满足当 时, .
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