摘要：常微分方程（组）的数值解法是计算数学的一个分支，是解常微分方程（组）各类定解问题的近似方法。传统的解微分方程（组）的方法主要是解析法，但是解析法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实际上许多有价值的常微分方程（组）的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解。
本文在了解常微分方程(组)各种数值算法的基础上，结合具体实例，分析比较各种算法的优劣和收敛性，并提出改进方法，通过MATLAB数学软件对数值解进行分析，在此基础上分析方程（组）的动力学性质。
关键词：Matlab；常微分方程(组)；近似解法；动力学
一、研究背景
常微分方程是数学与应用数学的一门专业必修课，在理学、力学及物理学中有着广泛的应用。常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创 立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿和莱布尼兹发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用， 随后微分方程在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程。只有顺利求出微分方程的解，才能对所得的结果进行物理解释。所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解，故我们必须掌握其近似解的求法，并学会分析该近似解的误差。
而MATLAB是一种基于矩阵的数学软件包，该软件包包括了一个数值程序扩展库，并且有高级编程格式。研究结果表明，应用四阶五级龙格库塔法编制Matlab程序对微分方程组进行求解，无论是曲线或是特殊点与试验实测值的一致性都比较好。
本文在归纳总结已有数值算法的基础上，结合具体例子，分析比较各种算法的优劣、数值解的敛散性，并提出改进方法，除此之外，初步掌握Matlab在常微分方程的数值解法和动力学性质中的一些简单应用。
- 常微分方程的常用数值解法
1.欧拉方法
根据泰勒定理，如果函数y，yrsquo;，Y”连续，y1=y(t0) hf(t0，y(t0))为欧拉逼近，将区间[a，b]分成M个等距的子区间，子区间的长度即为步长h=(b-a)/M，tk l=tk h。重复上述欧拉逼近过程：y2=y1 hf(t1，y1)；y3=y2 hf(t2，y2)；这些点就是对曲线y=y(t)的逼近。在(t1，y1)点，重复上述步骤，得到(t2，y2)，hellip;．，最后得到(tN，yN)。步长取得越小，越逼近精确解。
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