初中数学构造方程的解题方法文献综述
摘 要：“构造方程”是利用方程的知识适当地建立起有关方程（方程组）来解决数学中的某些问题的方法，合理巧妙地运用构造方程法可以达到化繁为简、事半功倍的效果。本文首先对人教版初中数学教材进行分析，对人教版教材的方程体系以及方程结构进行一个大致的分析。其次，通过翻阅图书馆相关书籍以及查阅“中国知网”的四个数据库，我对构造方程可解哪些类型的题目以及可以利用哪些内容进行构造方程有了初步的认知。在此后，我将对其中的一些方法进行具体的阐述以及完善。
关键词：教材 初中数学 方程构造 方程思想 构造方法
- 人教版初中数学方程相关内容教材分析
对方程内容体系的研究主要包含各部分内容的前后顺序安排，以及所处的具体位置。初中的方程内容主要包含；一元一次方程、二元一次方程、分式方程、一元二次方程。
表1 人教版方程内容体系[1]
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年级 |
章 |
节 |
课时 |
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七上 12版共19课时 |
第3章 一元一次方程 |
3.1从算式到方程 |
一元一次方程 |
4 |
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等式的性质 |
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3.2解一元一次方程（一）—合并同类项与移项 |
4 |
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3.3解一元一次方程（二）—去括号与去分母 |
4 |
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3.4实际问题与一元一次方程 |
5 |
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数学活动 |
2 |
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小结 |
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七下 12版共12课时 |
第8章 二元一次方程组 |
8.1二元一次方程组 |
1 |
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8.2消元——解二元一次方程组 |
4 |
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8.3实际问题与二元一次方程组 |
3 |
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*8.4三元一次方程组的解法 |
2 |
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数学活动 |
2 |
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小结 |
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八上 13版共3课时 |
第15章 分式 |
15.3分式方程 |
3 |
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八下 13版共1课时 |
第19章 一次函数 |
19.2.3一次函数与方程、不等式 |
1 |
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九上 14版共13课时 |
第21章 一元二次方程 |
21.1一元二次方程 |
1 |
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21.2解一元二次方程 |
7 |
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21.3实际问题与一元二次方程 |
3 |
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数学活动 |
2 |
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首先，人教版教材的方程体系是按照一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程的顺序展开。其次，对方程结构通过横向与纵向的比较研究，发现人教版教材对方程内容的呈现采用了螺旋上升的结构形式，各部分方程内容标题大致分为认识方程模型，求解方程和应用方程三大类，基本遵循了“问题情境一建立方程模型一求解、应用与拓展”的模式，各类方程的设计思路也基本一致，体现了教材自身设计的一贯性。
- 研究内容
（一）构造方程的内涵
“构造方程”这一词条在百度百科尚未收录，那我们不妨把可利用方程的知识适当地建立起有关方程（方程组）来解决数学中的某些问题的方法称为“构造方程”。[2]同时，我们可以把由题设内容及数量关系，构想、组合成一种新的方程等具体关系，使问题在新的关系下，实现转化而解决的思想称为方程思想。有些问题利用方程思想构造方程后，可以起到化繁为简、事半功倍的效果。以1990年合肥某竞赛题为例，
例1.设且求
解：由题设可得
可得方程两根分别为，则
代入，得原式
中学数学教材对于方程在研究数学自身问题（代数、三角、几何）中的应用涉及较少。这直接影响着学生灵活使用“方程”这个武器去解决数学问题的能力。[3]本文介绍的构造方程法就是把方程的“知识”转化为“能力”的一种重要方法。
（二）构造方程可解题目的类型
通过翻阅图书馆相关书籍以及查阅“中国知网”的四个数据库，我得知构造方程构思巧妙，应用范围较广。它不仅可以进行最基本的求值工作，还可以利用构造方程的方法来证等式、证不等式、求数列通项以及解答解析几何问题[4]，但由于本文是围绕初中数学内容进行展开，故主要对前三者进行讨论探究，对于第四类求数列通项，可利用构造方程的方法求解一些简单的“找规律”型题目与涉及高中数学内容的初中竞赛题目，故在此便不对它进行详细的展开。对于第五类解答解析几何问题，这一部分为高中内容，初中不会涉及，故在此不对它进行展开。
（三）构造方程可利用的内容
1.利用判别式构造方程[5]
如果题目所给的题设条件中、结论中或者经过一定的变形后题目某一部分具有的形式，则我们可以考虑是否可以通过构造方程来解决问题。
2.利用韦达定理构造方程[6]
如果题目所给的题设条件中、结论中或者经过一定的变形后题目某一部分具有韦达定理 的形式，那我们可以考虑通过构造方程，利用方程思想来解决问题。
3.利用根的定义构造方程[7]
使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫做方程的根。我们可以利用方程根的定义把一个多元一次方程组构造成一个一元多次方程，再利用韦达定理或者求根公式求解。这样的方法可以避免多次使用消元法，化繁为简，但适用条件较强，需要特定的题型。
4.小结
除此之外，我们还可以利用方程的定义、方程解的情况、常值代换、数形结合[8]、三角公式[9]等方面来构造方程并解题，在这里就不一一叙述，我将在正文中进行展开研究讨论。但总的来说，我们可以利用很多方面的内容进行构造方程，如何适时的正确的构造方程也将成为我们解题的关键。
- 问题梳理与总结
综上所述，方程内容是初中数学学习中极为重要的一环，方程内容的呈现采用了螺旋上升的结构形式，有助于帮助学生逐步地了解学习方程内容。作为代数方面的重要内容，方程是考查时的重点，它的重要性不仅仅停留在它本身的求解，而是它背后所蕴含的方程思想，体现了数学的类比、转化等思想。我们可利用方程的知识适当地建立起有关方程（方程组）来解决数学中的某些问题。
这里的“某些问题”包括最基本的求值工作以及证等式、证不等式等等，此外我个人认为还可以求解几何方面的问题，利用数形结合将代数与几何相勾连。
既然知道了构造方程可以解哪些题目，如何构造方程便成了关键之处，通过翻阅图书馆相关书籍以及查阅“中国知网”的数据库[10]以及外文期刊[11][12]，我明确可以利用判别式构造方程，利用韦达定理构造方程，利用根的定义构造方程，除此之外还有很多方面都可以利用，这也正恰恰表明了数学的巧妙之美。但由于篇幅有限，我在此并不能对这些方法进行详细的阐述以及补充，故在论文正文中，我将进一步完善这些方法，并对它们做一个梳理与解释。
参考文献：
[1]义务教育教科书教师用书.数学.人民教育出版杜课程教材研究所中学课程教材研究开发中心编著［M］北京：人民教育出版社，2012.6
[2]周万林.谈谈'构造方程'解题[J].河北理科教学研究,2003(02):1-2 9.
[3]贾士代.构造方程解题八法[J].中等数学,1987(02):22-25.
[4]周万林.谈谈'构造方程'解题[J].河北理科教学研究,2003(02):1-2 9.
[5]南秀全.构造辅助方程的几种常用方法[J].数学通报,1988(11):8-11.
[6]杨宪立,纪保存.构造方程(函数)解题初探[J].濮阳教育学院学报,2002(03):27-28.
[7]杨宪立,纪保存.构造方程(函数)解题初探[J].濮阳教育学院学报,2002(03):27-28.
[8]曾明德.构造辅助方程解题的常用方法[J].娄底师专学报,1989(02):101-105 81.
[9]贾士代.构造方程解题八法[J].中等数学,1987(02):22-25.
[10]吴健.构造方程组解题[J].中学生数理化(七年级数学)(配合人教社教材),2017(05):16-17.
[11]Veletić Jelena,Olsen Rolf Vegar. Developing a shared cluster construct of instructional leadership in TALIS[J]. Studies in Educational Evaluation,2021,68.
[12]Mok Ka Ho,Xiong Weiyan,Ke Guoguo,Cheung Joyce Oi Wun. Impact of COVID-19 pandemic on international higher education and student mobility: Student perspectives from mainland China and Hong Kong[J]. International Journal of Educational Research,2021,105.
资料编号：[595563]
初中数学构造方程的解题方法文献综述
摘 要：“构造方程”是利用方程的知识适当地建立起有关方程（方程组）来解决数学中的某些问题的方法，合理巧妙地运用构造方程法可以达到化繁为简、事半功倍的效果。本文首先对人教版初中数学教材进行分析，对人教版教材的方程体系以及方程结构进行一个大致的分析。其次，通过翻阅图书馆相关书籍以及查阅“中国知网”的四个数据库，我对构造方程可解哪些类型的题目以及可以利用哪些内容进行构造方程有了初步的认知。在此后，我将对其中的一些方法进行具体的阐述以及完善。
关键词：教材 初中数学 方程构造 方程思想 构造方法
- 人教版初中数学方程相关内容教材分析
对方程内容体系的研究主要包含各部分内容的前后顺序安排，以及所处的具体位置。初中的方程内容主要包含；一元一次方程、二元一次方程、分式方程、一元二次方程。
表1 人教版方程内容体系[1]
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