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文献综述
1952年，美国经济学家马克维茨发表论文《资产组合的选择》，在论文中提出均值一方差(meanvariance)模型，正式开启风险量化的大门，而此前对于风险的衡量一直处于感性阶段。投资组合理论表示若干种证券组成的投资组合，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其风险不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低非系统性风险。而该领域的研究意义即利用数学的方法定量地研究满足自己要求的证券投资组合，实现在同等风险下的收益最大化或者同等收益下的风险最小化进行建模并给出有效的投资组合。投资需要时刻对未来收益进行估计，这个过程中充满了不确定因素。当实际收益低于预期值时，我们称之为风险。在此该风险下，作为一个理性的投资者不仅关注收益最大化目标，同时更要考虑自身对风险的承受能力。
根据文献[1]，马克维茨的模型存在四个假设。假设一，投资者以期望收益率(亦称收益率均值)来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差(或标准差)来衡量收益率的不确定性(风险)，因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。假设二，投资者是不知足的和厌恶风险的，即投资者总是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。假设三，投资者都遵守占优原则：同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。假设四，投资者事先知道投资收益率的概率分布。而马克维茨均值方差模型就是在上述四个假设下导出投资者只在有效边界上选择证券组合，并提供确定有效边界的技术路径的一个数理模型，但马克维茨的模型是建立在完美市场的假设前提下，即市场中不存在税收和交易成本等摩擦因素。
国内也有学者对马克维茨模型进行了修改重新构造模型。例如，文献[7]中用VAR代替了方差，重新量化了模型的风险水平。VAR概念出现于1994年，也称为风险价值。VAR专门用来度量下侧风险，也就是发生损失的情况，所以近年来常被用于投资组合的风险研究。
而带有交易费用约束，文献[5]中也研究了带有交易费用和工业约束的模型，所不同的是，所研究的决策变量是交易手数，也就是说所建立的最优化模型是非线性整数规划。鉴于该模型，提出了基于拉格朗日松弛和连续松弛的混合分枝定界算法，成功得解决了该问题。除了投资比例约束和交易费用约束外，国内还有学者对投资者心理预期损失设定了个上限，以此建立约束模型。例如，文献[6]研究了限制最大损失时的证券投资组合模型。
但在实际的资本市场中，这些摩擦因素对投资者的决策行为有着直接的影响。研究者们逐渐将注意力转移到摩擦市场中寻求最优的投资组合。故而应当考虑允许卖空的情形，并对总的卖空数量同时加以约束。现实中的资本市场不是完美的，总是存在着税收、交易成本和买卖交易价差等摩擦因素，这些因素对投资者的决策产生的影响不可忽略，本文假设资本市场中仅存在前两种摩擦因素，且投资者是作为一个公司或企业的代表，因此税收是指企业所得税，交易成本主要包括佣金和其他由于高收入面临着高风险，二者很难同时满足，因此需在期望收入最大化和风险最小化之间寻求一个平衡。文献[6]中指出投资组合的有效前沿上具有期望收入最大的同时收益率波动风险最小的特征，同时考虑资本市场中允许卖空行为的存在，但是对其总的卖空之和加以约束。因此摩擦市场中允许卖空的投资组合的MAD模型构造如下：
（P1）max（1-λ）f（x）-λg（x）
s.t.∑xi=1
∑│xi│≤1 2a
在允许卖空行为存在，但是对总的卖空之和加以约束。在此基础上构造投资组
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