文献综述
在很多的工程、金融、数学领域都涉及到非线性方程，因为这些领域的问题求解，最终都可以归结为对非线性方程的求解。求解非线性方程的主要方法是构造迭代算法。到目前为止，人们提出了大量的迭代算法，人们对这些方法的收敛速度和收敛性也进行了很多的研究。然而，随着认识的深入和其它领域的发展，人们发现仅仅从这两方面来衡量一个算法的好坏已经越来越缺乏说服力。人们更希望了解算法背后的秘密—在不动点附近的动力学行为。
分形这个术语是数学家Mandelbrot为描述所有尺度上复杂结构的不规则、破碎形状而创造的。他在1975年后相继用法文和英文出版的三本书，把许多人引进了分形百花园。目前，分形理论发展极其迅速，新成果层出不穷,用计算机绘制分形的理论与算法也日新月异，并已成为一个独立的研究方向。近年来，人们开始研究各种迭代算法的分形理论[1,2,7,8,10-13]。
比如，Sergio Amat1 , Sonia Busquier and Sergio Plaza在[17]中对King类算法和Jarrate算法的动力学进行了研究。最近，Changbum Chuna和Beny Neta对周-陈-宋[14]给出的一类算法从动力学特性角度进行了研究。他们主要通过这类算法中设定一个参数，研究参数的选取对算法的共轭映射、伪不动点和收敛域分形图等三个方面的影响，从而确定最佳参数的选择。
所谓伪不动点是指迭代函数的不动点，但却不是所求函数的零点。不动点的存在影响了算法的收敛效果。具有吸引性的伪不动点，会捕获算法产生的迭代序列从而给出错误的结果。即便是排斥性的伪不动点，它们也会使情况变得复杂而不是接近最初的猜测。
设f和g都是上的有限维内积空间。若是f到g的一个线性映射，则恰有g到f的一个线性映射与之对应，叫做的共轭映射，称为共轭方程。共轭映射在理解从动态系统到映射行为过程中起着核心作用，因为共轭映射能保持不动点的周期性和形成吸引域。
绘制吸引域分形图则可以直观上让我们感受在不动点附近迭代点的行为。
Changbum Chun在[15]中对四阶的King类算法进行了改进，提出了如下两类算法：
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