空间分数阶发展方程差分格式研究文献综述

 2023-08-18 07:08
  1. 文献综述（或调研报告）：
  2. 引言

分数阶微积分发展的初期，仅被应用于数学领域的研究，直到最近几十年来，科学家们才意识到传统的微积分已经不能准确地描述一些实际现象，而分数阶微积分理论的提出避免了这些问题，至此，分数阶微积分理论才逐渐开始被应用于科学、工程、经济等领域。到目前为止，分数阶微积分理论已经被广泛的应用到金融、材料、弹性力学、电磁学、动力学、反常扩散现象等领域中。作为分数阶微积分理论的一部分，分数阶Laplace算子的研究是最近几年的热门话题。

  1. 研究现状

文献[1-5]中列举了分数阶Laplace算子的广泛应用以及其处理反常扩散现象和模拟具有长距离相互作用的复杂物理现象的例子。

目前关于分数阶Laplace算子的研究已经有很多，主要算法集中在有限差分方法和有限元方法。文献[6]提出了将具有强奇异性的函数分裂为两个奇异性较弱的函数的思想，克服了高数维分数阶Laplace算子强奇异性的困难，建立了离散二维和三维积分形式分数阶Laplace算子的格式，并应用此方法来解决分数阶泊松方程和分数阶Allan–Cahn方程；文献[7]为奇异积分形式的分数阶拉普拉斯算子提供了加权梯形公式，并通过大量的数值算例对该公式的收敛性作了分析；文献[8]提出了一种有限差分求积方法，并给出了其收敛性证明；文献[9]中提出了利用一个与Laplace算子生成函数类似的均匀网格区域上有限差分格式的生成函数，来建立分数阶中心差分格式去离散分数阶Laplace算子，该方法有效的减少了为解建立线性系统的成本。文献[9-12]为有限元方向的一系列研究。

尽管有几种方法已经具有拟线性复杂度的线性解算程序，但是算法的实现仍然很复杂，特别是在有限差分方法中求权和在有限元方法中求线性系统的项，如何建立一个高速有效稳定的格式和算法成为了分数阶Laplace算子研究的重点和难点。

  1. 总结

目前关于分数阶Laplace算子的算法研究，主要集中在有限差分方法和有限元方法，如何建立一个高速有效的算法，成为了该研究领域的一个热门方向。

本课题拟通过文献[6]中的方法去建立空间分数阶发展方程的差分格式，研究其稳定性与收敛性，并编写快速稳定的算法。

参考文献

[1] Epps B P, Cushman-Roisin B. Turbulence modeling via the fractional Laplacian[J]. arXiv preprint arXiv:1803.05286, 2018.

[2] Gatto P, Hesthaven J S. Numerical Approximation of the Fractional Laplacian via hp-finite Elements, with an Application to Image Denoising[J]. Journal of Scientific Computing, 2015, 65(1): 249-270.

[3] Gunzburger M, Jiang N, Xu F. Analysis and approximation of a fractional Laplacian-based closure model for turbulent flows and its connection to Richardson pair dispersion[J]. Computers amp; Mathematics with Applications, 2018, 75(6): 1973-2001.

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