与调和级数相关的级数敛散性问题
摘 要
作为分析数学中的主要组成部分之一，级数理论一方面可以当做用来探讨函数性质的重要工具，另一方面也是生成新函数的主要方法之一。况且，作为一种数学工具，级数还能用来作为表示逼近函数的有用方法之一，在数学的近似计算领域也有关键作用。 发散级数的研究在数学史中具有很重要的地位，微积分的相关研究与其密不可分，具体体现为我们在建立定积分概念的同时，应用级数的表达方式。 同时还可以引入变上限积分的概念，从而能定义出一类新函数。这将使我们认识到除了现在我们已知的初等函数以外的，更多的非初等函数的类型。 可以说这样说，级数理论对于数学学习有着极大的帮助，是一种不可或缺的重要数学工具。
随着数学分析理论的不断严密，我们认识到虽然级数的发展略有跌宕起伏，但是其特殊性质与广泛的应用层面也令无数的数学工作者潜心研究。 调和级数作为发散级数中的一颗明珠，研究其敛散性对于研究其他形式的级数敛散性有着指导性意义。利用欧拉在证明调和级数发散时得出的欧拉公式。在本篇文章中，我们将结合其它类型发散级数的证明，从调和级数的敛散性着手，再研究删除部分项后的调和级数的敛散性。然后再引入超调和级数（p-级数）、Fourier级数等， 逐步展开对发散级数的研究，来为以后的工作与学习奠定坚实的基础。
级数理论作为一种重要工具，在生产和工作中都有着重要的应用，所以使得研究级数敛散性的意义显得愈发重要。研究级数相关性质，尤其是敛散性，这对于我们以后的学习有着深远意义，无论是在计算时用来替代一般形式的函数来求解微分方程的近似解，还是在用以求解积分运算问题方面都有着重要的运用。它不仅可以应用到生活中，而且在解决物理学方面和信息技术行业的问题有着很重要的地位。
关键词：调和级数；敛散性；发散级数；欧拉常数
The problem of Convergence and Divergence related to Harmonic Series
ABSTRACT
As an important part of analytical mathematics, series theory is not only a main tool for studying functions, but also an important method of generating new functions. At the same time, the series is an effective method to approximate the known function, and plays an important role in the approximate calculation. The divergent series has a very important position in the history of Mathematics. The related research of calculus is inseparable from it. It is embodied in the way we use the expression of series while establishing the concept of definite integral. At the same time, a variable upper limit integral is introduced to define a new class of functions, which makes us recognize more types of non-primary functions besides elementary functions. It can be said that as an important tool, series theory is of great help to mathematics learning.
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