《线性常微分的一些代数性质》文献综述
摘 要
本文运用高等代数中有关线性空间的理论，研究了线性常微分方程（方程组）解空间的一些代数性质，得出以下结论：一、齐次线性常微分方程（方程组）的解空间是一个线性空间，其维数是对应方程的阶数；二、非齐次线性常微分方程（方程组）的解空间不再是线性空间，但有类似于前者解空间的性质等结论。本文通过线性代数，建立常微分方程和大学一年级高等代数基础知识的联系，从而加深对线性微分常方程无穷解构造有限维空间这一理论的认识。不仅帮助学生在常微分方程的学习中展开了另一条思路，更有利于学生温习高等代数学科知识。
关键词：高阶线性微分方程；解空间结构；线性相关性
1引言
如今，高阶微分方程已然成为了进行科学研究的最重要手段之一，即通过建立符合现实意义的方程来获得我们所需要的变量，高阶微分方程的求解、解空间结构及其相关性质的探讨是一个重要的问题。
本文将研究线性常微分方程的一些代数性质，主要包括通过线性代数中的关于线性空间的某些理论刻画线性常微分方程的解空间结构。本文的研究思路是将线性微分方程和方程组分为两类——齐次与非齐次进行讨论，系统研究线性微分方程的解空间及其代数性质。由低阶线性微分方程的解空间及其性质，推广到高阶线性微分方程的解空间及其代数性质。本文论证了高阶齐次线性微分方程（方程组）的解空间能构成线性空间及对应线性空间的维数，而高阶非齐次线性常微分方程（方程组）的解空间不能构成一个线性空间，但有类似于高阶齐次线性微分方程（方程组）解空间性质的结论。
2国内外研究现状综述
微分方程和函数空间理论已有很多作者研究，也有很多人将两者结合起来研究它们的性质，取得了一系列有意义的结果。比如，外国文献作者中就有Chr． Pommerenke，在文献［13］中将微分方程理论和函数空间理论相结合研究二阶微分方程解的空间属性，取得了很多结果。近年来 J． Heittokangas，Ｒ． Korhonen 等人进一步讨论了微分方程解空间的属性，也获得了很多好的结论，同时也将某些结果推广到高阶线性微分方程，得到一些经典的结论。
国内相关文献中饶若峰的《常微分方程教学中的几何直观法》，通过线性代数的几何空间刻画了高阶线性非齐次常微分方程的解空间的结构，论证了 维非齐次线性常微分方程的解空间( 从平移角度上看) 恰好是 n 维空间的结论；但本文指出 维非齐次线性常微分方程的解空间不是一个线性空间，因为不包含零解，因此不能用维数来描述这个空间。
赵巧媛和赵临龙的《线性代数与线性微分方程解的联系》对线性代数方程和线性微分方程的解的联系，进行讨论，指出：两方程解构造理论存在相同性，但两方程解内涵存在差异性。因此，线性微分方程的解法较复杂；
李先枝的《高阶线性微分方程理论中的两个新结论》利用线性代数中有关行列式的知识以及微分方程与方程组之间的转化方法,得到相关的两个新结论,不但丰富了这一模块的理论内容,也填补了其实用性不足的缺陷；
