探析不等式在中学数学解题中的应用
摘 要：不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型。凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识，所以不等式是解决问题的重要工具，在整个中学数学课程中发挥着重要的作用，学好不等式相关内容也就显得格外重要。国内学者对不等式问题进行了大量的研究，并取得了一些重要的成果。本文在前人研究的基础上，对柯西不等式、均值不等式、琴生不等式几个常见不等式在中学数学中的应用进行研究，同时结合中学数学的课标要求，对不等式的解题技巧进行一点总结。
关键词：不等式，柯西不等式，均值不等式，琴生不等式
- 前言
不等式在整个中学数学课程中发挥着重要的作用，从近几年来中考和高考数学试题和数学竞赛题目来看，不等式这一块内容都是重中之重，不管是哪种类型的题目，不等式都有所涉及，并且结合其他的知识点一起来进行考查，所以说掌握好不等式是中学数学学习的关键一环。
不等式是属于数与代数这一部分的内容，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》的第三学段（7-9年级）对不等式做出了明确的要求：（1）结合具体问题了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。（2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题1。在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中对高中数学的学习不等式也做出要求：（1）理解不等式的概念，掌握不等式的性质。（2）掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，以及从函数观点看一元二次不等式等2。
中学阶段的数学试题着重于对课本基础知识的应用，对学生基本技能的锻炼，紧扣课本的定义、概念、原理、性质等，题目突出不等式的重点内容，一般会与实际情景结合来考察。从题型来看，初中数学和高中数学都有求不等式的解集类型的题目，这是不等式基础的知识之一，此类题目不仅可以用来考查基础的知识，还可以考察知识的提升。用不等式来解决最优化问题，需要与图像相结合。证明不等式类型的题目，需要较为成熟系统的逻辑推理，所以一般难度相对较大，偏向于考查学生的思维能力。从总体上看，不等式以及相关内容考查的范围较广，重在证明、最值问题以及具体情境中的最优化问题，这些问题都能归入几个常见不等式中。
为了全面了解常见不等式在中学数学的应用，尤其是对学生解题的作用，本研究主要通过查询CNKI中国期刊全文数据库，收集了相关文献资料约15篇，并进行了综述。
- 不等式的证明方法
不等式在高中数学中占有十分重要的地位，关于不等式的证明，向来是中学数学中的重难点，也是许多中学老师研究的重点。很多的学者围绕不等式这一主题，同时结合高等数学的一些基础知识，提出了大量的经验并做出了巧妙细致的总结。
