文献综述
一 背景
随着计算机技术及网络通讯技术的飞速发展，特别是因特网的出现和普及，过去的几十年里，人类在生产、生活中积累的数据量急剧增长，信息时代，信息的价值不言而喻，对这些积存的海量数据进行分析、归类，从中挖掘出对人类生产、生活有用的信息迫在眉睫。生产、生活中产生的大量数据都具有非负性， 如工厂产品的产量、 销售公司的销售额等等。 面对这些大规模数据，人类似乎显得束手无策，幸运的是，数学中的矩阵分解思想给人类带来了福音。利用矩阵分解，可将大规模问题转换为小问题来处理。经典的高纬数据分析、降维方法，如主分量分析、独立分量分析都可看作某种矩阵分解方法，但是它们允许分解得到的矩阵因子中的元素可以存在负值，但负值在实际应用中往往缺少物理意义。在信号分析、 图像分析、文本分析、生物医学工程和化学工程等领域，信息或信号处理的许多数据具有非负性的特点，如灰度图像、物质成分含量、文章中单词出现的次数和统计学中的概率转移矩阵等。 面对大规模的高维的非负数据，如何针对其非负性，寻找有效的方法，对其进行降维和分析，非负矩阵分解应运而生。认知学研究表明，人类对整体的感知是基于对部分的感知。 非负矩阵分解的思想正是源于此。它是一种较新的矩阵分解方法，它对矩阵因子的元素的数值加入了非负性约束。非负性约束的引入可使通过对原始的、 高纬的非负数据进行非负矩阵分解，分解得到的结果不存在负值，在实际应用中具有明确物的理意义，从而得到智能化的、纯加性、低纬的数据描述，且具有一定程度的稀疏性，稀疏性在一定程度上能抑制外界噪声的干扰。非负矩阵分解目前已成为机器学习、 模式识别、 图像工程等领域的研究热点，因此，对非负矩阵分解进行深入的研究，是一个具有重要理论意义和应用价值的课题。
二 国外的研究现状
非负矩阵分解问题属于最优化范畴。仅对左右矩阵因子施加非负性的非负矩阵分解模型称为基本的NMF模型；根据某种需要，对左右矩阵因子施加除非负性约束外的其他约束的模型称为改进的ＮＭＦ模型。相应地现有的NMF算法可分为基于基本NMF模型的算法和基于改进NMF模型NMF的思想是可追溯到1994年Paatero和Tapper提出的正矩阵分解，在这篇文章里他们尝试对环境方面的实际数据进行因子分析的算法。但真正使NMF的研究流行起来， 并成为一个研究热点，是1999年Lee和Seung提出了一个以广义散度为目标函数的基于基本NMF模型的算法，并将其应用于人脸图像的表示， 将ORL人脸库上的人脸图像向量化， 构成一个非负矩阵， 运用NMF算法进行分解，将得到的基图像矩阵中的每一列转换为与ORL人脸库中人类图像等尺寸的图像矩阵，发现呈现在人们面前的是人脸面部的某些部件，如眼睛、嘴巴、眉毛等。2001年，对基于基本NMF模型的算法进行了深入的研究，提出了两个经典的NMF算法：基于欧氏距离的乘性迭代算法和基于广义Kullback。Leibler散度的乘性迭代算法，并给出了收敛性证明，这两个算法由于提出的比较早，收敛速度较快，已被应用于各个领域，现已成为ＮＭＦ的基准算法。芬兰赫尔辛基大学的Hoyer教授[1]提出了一种改进的NMF模型，即带稀疏限制的非负矩阵分解模型并给出了相应的求解算法，相对前述算法的最大优势在于可以很方便地控制基矢量的稀疏程度，Li等人[2]根据化学计量学需要，提出了带正交限制的非负矩阵分解模型。
Montano等人提出了非平滑非负矩阵分解。美国德克萨斯大学奥斯汀分校的Dhillon教授、Kim博士和Sra博士先后提出了基于Bregman散度和对偶Bregman散度的广义非负矩阵分解[3],以欧氏距离为目标函数的基于基本NMF模型的快速算法FNMA以及基于牛顿法的快速非负矩阵分解算法 。
美国田纳西大学诺克斯维尔分校的Michael_Berry教授长期致力于文本挖掘的研究。他提出了一种混合型的NMF算法—GD.GCLS算法并应用于文本挖掘，取得了良好的效果。Berry[4]等人对NMF算法的研究现状及其在各个领域中的应用现状进行了很好的综述。
美国德州大学阿灵顿分校Chris Ding教授长期致力于NMF在数据聚类中的应用以及在组合优化中的应用并提出了凸NMF，以及半NMF．芬兰赫尔辛基理工大学的Erkki Oja教授和他的博士生YuanZhiJian投影NMF并用于人脸图像的处理与压缩。丹麦奥尔堡大学Hans Laurberg 博士对NMF的理论基础进行了深入的研究，尤其是对非负矩阵分解结果在什么条件下是唯一的做了大量的研究工作。关于这方面的早期研究，还有美国斯坦福大学DavidDonoho教授[5]。日本理化学研究所（RIKEN）高级脑信号处理实验室的Andrzej Cichocki博士和他的团队对NMF算法及其在盲源分离中的应用做了大量的研究工作取得了丰硕的成果并开发出了基于MATLAB的NMF算法工具包NMFLAB[6]。
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