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文献综述
凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划、控制论等领域。凸函数的性质，为其它在求解函数的极值、拐点，刻画函数的图像以及证明不等式等诸多方面，具有无与伦比的优势。利用凸函数的性质证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易，证明过程简单的问题[1]
我们可以很清晰的知道，凸函数其实就是指满足在区间内任意找两点，在两点之间的该函数上的任意一点，其都在两点连线的下方的函数。在定义域内，若一个函数它是凸函数，那它的导函数必然是增函数，并且若是一个函数在定义域内二阶可导，函数的二阶导数大于等于零是这个函数是凸函数的充要条件。
在微观经济学中，比如商家的进货量。进货多了，容易导致货物囤积，造成损失。进货少了，需要经常进货，浪费时间及来往成本等[2]。又比如风险效用，效用即是指投资者在投资时的满意程度。风险效用可以将投资者分为风险厌恶型、风险爱好型、风险中性三类投资者。其中风险爱好型投资者的效用函数为凸函数，对于这类投资者，风险给他带来的是正效用，在其他条件不变的情况下，他更倾向于选择标准差大的组合[3]。而又如何使得投资者的效用最大化呢？往往我们会根据不同的满意度大小的消费组合，给予其不同的权重。与此同时，投资者还要受到预算约束。所以投资者效用最大化的问题，本质上就是在预算集内选取最优的消费组合[4]。又如如今的网络安全问题。如何提高网络的安全性，确保信息的安全[5]？我们大可建立模型，确定模型的目标函数，将模型转化为凸规划问题。
国外学者在这个领域的最新研究成果, 包括用分数阶导数定义的凸函数、抽象空间中的凸性不等式、量子微积分中的凸性不等式、算子凸函数、抽象凸性不等式及其应用[6]. 研究欧几里德空间和Banach空间中的凸函数的各种类型及其特点和应用[7]。这里介绍Bregman优化方法，这种方法应用于Banach空间，而Bregman优化方法的基本概念就是完全凸函数，把函数的完全凸性应用于算法的设计与收敛分析中是这类算法的一个重要支点。以及研究黎曼流形上函数、动力系统和优化方法凸性的统一理论。主题包括测地线和黎曼流形的完备性，曲线和Jacobi场的p-能量的变化，黎曼流形上的凸程序、凸函数、流和能量的几何构造、凸性的应用[8]。
参考文献：
[1] 狄雷. 凸函数的性质及其应用[J]. 科教文汇，2009.
[2] 陈秋涵. 凸函数在微观经济学中的应用[J]. 科技通报，2014，30(5).
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