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随着科学技术的不断发展，数学教育对应用意识的呼声越来越强烈。《数学课程标准(2011 年版) 》提出了十大核心概念，其中一个就是应用意识。它包括两方面的内容，一方面指有意识地利用数学概念、方法解释现实中的问题；另一方面是将现实中的问题抽象为数学问题，用数学的方法予以解决。小学数学应用题一般是以现实世界的事件与关系为题材，用自然语言陈述，涉及数学知识进行数学运算的问题。可以说，数学应用题是了解数学应用的一个主要窗口，是检测学生应用意识和应用能力的一种手段。调查显示，我国学生普遍认为应用题比较难，应用题在数学考试中占比高、得分率低。仲宁宁(2009)认为，应用题作为复杂的认知任务，最困难的地方在于对工作记忆中的信息进行有效地管理，即形成对应用题的表征。从认知心理学角度看，问题表征是问题解决的关键所在，学生对问题的表征直接影响应用题能否成功解决。因此，研究小学生在问题表征上的特点对其问题解决的能力提升和数学成绩提高有着重要作用。
前人研究发现，学生解答应用题错误，主要是在问题表征环节出了问题。有学者对空间工作记忆在应用题解决中的作用进行建模，其中，视空模板通过表征方式的中介作用对应用题产生影响。本研究首先将儿童的问题表征进行分类，划分为图式表征与图像表征两种。具体分析不同的问题呈现方式下，小学儿童在数学应用题的解决上有何差异。探讨图式表征与图像表征与小学生问题解决以及数学成绩的关系。
心理学家Newei和Simon（1956）将问题表征定义为问题解决者依据问题所提供的信息与问题解决者已有的知识经验，发现问题的机构，建构自己问题空间的过程。随着认知心理学不断发展，问题表征也渗透到其他学科领域。因此也需要对专门领域的问题表征进行界定，在小学数学应用题中，问题表征被定义为,个体提取题目信息，与自身的认知经验结合，形成该数学问题的结构，并构造与之对应的数学问题空间的过程。 对于数学问题，学者们通常将他们分为两类，一类是纯粹的数学问题，完全基于数学领域的问题，不涉及任何情境，单纯对抽象符号的操作；另一类称为数学应用题，问题中一般会涉及到具有一定现实特征的问题情境，需要儿童运用一定的数学知识。对小学生来说，数学应用题的实用价值更高，在其问题解决能力提升与数学成绩的提高上发挥较大作用。因此，本研究以第二类数学问题为主，研究数学应用题的问题表征。
Mayer（1986）关于数学问题解决的研究发现，应用题解决需要经过两个重要阶段，分别是问题表征和问题执行阶段。问题的表征就是问题理解，它可以细分出问题转译和问题整合两个子阶段。问题转译先于问题整合，问题解决者提取工作记忆中的语言性知识，将每个陈述句转化为内部表征；问题整合是根据题目的类别，选择图式性知识形成内部协调一致的表征。Mayer认为问题表征阶段相较问题执行阶段更重要，因为学生在解决问题时，第一步就是读懂题目，综合题目信息并将其内化。而后制定解题方案，设计解题程序、执行具体的解题步骤。
Kintsch和Greeno（1985）二人对 “问题解决模型”做了进一步的深化，他们认为问题表征有双重含义：一是表征文本性输入的命题性文本框架（辛自强，2004）。它是指集合或集合之间的关系，问题解决者需要把输入的自然语言内化为上述的文本框架，即转化成对集合和集合之间的关系的认识。在数学应用题中, 总是包含着若干个数量集合,集合之间又有不同复杂程度的联系, 表征问题的过程就是利用图式知识理解集合关系的过程。也就意味着，个体是否拥有集合关系图式决定着个体能否成功解决问题。第二层含义是指抽象的问题表征或问题模型，其模型是由上述文本框架的相关信息通过某种结构组织起来的，包括个体根据原有认知经验结构对当前问题结构推理出来的信息，同时排除文本框架中解题不需要的信息。在具体过程中，问题模型中涵盖了三组涉及问题表征和问题解决的知识结构。其一是将题目语言转译成一组命题框架；第二，以表征特性与集合之间的关系建构来宏观结构的图式；第三，以一般的形式计算与算术运算的一组图式。根据Kintsch（1985）的理论，正确理解问题中的集合关系是问题表征的关键。
对于问题表征的划分，研究者们持不同的看法和观点，从而导致对问题表征的分类也存在差异。
学者纪桂萍(1996)把数学问题解决中的心理表征分为形象表征 (visual representation) 和抽象表征 (abstract representation) 两种。“形象表征包括操作材料、图画模式以及出声言语或书面符号的方式。抽象表征则是指以一种比较抽象方式, 如以概念、定理、命题等对数学问题进行表征，它的特点就是将问题表征为一组符号, 有时又被称为命题表征 (propositional representation)”。 形象表征和抽象表征共同构成一个完整的表征系统。研究发现,在问题解决过程中两类表征系统之间或者其内部之间是相互影响和相互转换的。其中,形象表征有助于减少记忆负荷或提高贮存能力,以更具操作性和简化复杂关系的形式对信息进行编码和处理。借助一个好的形象表征, 学生可以形成一个有效的抽象表征, 从而更好地了解问题解决的实质和关键, 然后再借助形象表征的各种方式,达到对问题的解决。由于低年级学生尤其是小学生以形象思维为主, 他们更多地依靠具体形象的思维表征方式,否则很难解决问题。遇到抽象数学概念和空间关系往往需要借助于具体的符号和图表等才能被理解, 从而形成抽象表征。这两者不是割裂开的，而是紧密联系着的。
Kruteskii（1976）分析儿童的口语报告发现，按照儿童在数学信息的加工方式上的差异，可以将应用题的问题表征分为三种类型：第一种语言化型，信息加工时倾向使用语言逻辑而不是视觉形象；第二种那个是形象化型，即喜欢视觉形象而非语言逻辑来理解问题；第三种，混合型，问题解决者解题没有固定的倾向。Presmeg(1986)等人的研究认为，每个个体都是处于使用视觉形象这一连续统一体上的某一点，个体的问题表征离不开视觉的作用。同时，研究者发现视觉形象表征不一定能提高数学解题成绩，甚至与空间能力、数学操作呈负相关。Lowrie(2001)的研究也表明学生使用视觉化方式进行表征不会对其问题解决产生影响。因此，Hegarty和Kozhevnikov(2002)对这种分类标准提出了质疑，以视觉型和语言型来划分应用题的表征方式不够具体也不够全面，不能解释问题表征与数学问题解决之间的深层次关系。
视觉空间能力是人类智能结构的重要组成部分，一直以来是教育心理学研究的热点问题。大量实验表明，学生在解决数学应用题时会广泛地使用视觉-空间表征这一问题表征方式。 近年来，认知心理学与神经科学的研究发现视觉-空间表征不是一个不可分割的整体，而是由相对独立的视觉表象与空间表象组成的。Hegarty(1999)在此基础上指出，视觉表象与空间表象存在个体差异，有的个体擅长图像表象，而有的个体擅长图式表象。为此，他将视觉空间表征分为两种类型：图式表征和图片表征。前者指对问题空间关系进行编码的表征方式，图片表征则是对客体视觉外貌进行编码。Hegarty等人还采用MPI考察这两种问题表征方式与数学问题解决依据空间能力的关系，结果表述使用图示表征有利于数学问题的解决，而使用图像表征与数学问题的成功解决呈负相关。曾盼盼和俞国良(2003)比较四、五、六年级儿童的视觉-空间表征的策略，结果显示五、六年级儿童的解题正确率、使用图式表征的程度高于四年级儿童；使用图像表征与问题成功解决没有必然的联系。学生在使用图式表征时，倾向于建构事物之间的空间关系，并进行空间上的转换；而当学生使用图像表征时，学生的关注点聚焦在问题的表面特征，如问题中的人物、事件、外部轮廓等细节部分，忽视了问题的主要元素及其关系。综合前人研究，本文将视觉-空间表征细分为图式表征和图像表征，希望通过研究材料的设计，解决当前研究中题目空间信息和视觉图像信息混合，评分者很难区分问题表征类型的情况。通过研究图式表征与图像表征的影响因素、年级特点，进一步了解儿童应用题的问题表征与数学成绩的关系。
如果一个问题得到了正确的表征，可以说它已经解决了一半。在小学教学实践中发现，学生错误解答应用题的原因，大多数情况下，不在于计算失误，而在于学生无法理解问题情境，不能厘清条件之间的内在关系，缺乏有效的条件转化策略，无法建立起对目标和条件的表征。也就是说这些儿童难以理解和表征问题，从而导致数学学习困难，数学成绩低下。Montague(2003)指出，MD儿童和一般儿童以及优秀儿童的最大差异在于数学问题解决的知识及其应用，以及对问题表征策略的控制。Kruteskii(1976)也认为，小学生对数学应用题是否可以形成恰当的表征，会直接制约最终的解题结果。根据前人研究可以发现，“正确的表征是解决问题的必要前提”（傅小兰等，1995），研究小学儿童应用题的问题表征对提高小学生数学成绩有着重要作用。 Kaplan（1990）的研究说明，顿悟现象的出现是因为被试找到了合适的表征方式，但适宜的表征只有当被试获得指引搜索和使搜索高度有效的强约束条件下才会出现；问题本身的特征是约束问题表征的重要来源。问题的特征包括问题的数量、题型、题目呈现方式等。换句话说，问题呈现方式通过问题表征影响问题解决。本研究从问题的三种不同呈现方式入手，考察问题呈现方式对不同年级的学生解决问题的比率的影响，从中发现儿童在应用题呈现方式的特点，为提高小学儿童数学成绩提供理论依据。 |
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二、研究的基本内容和拟解决的主要问题 （一）主要研究内容 本研究设计数学自编应用题,将同一道应用题用三种不同的方式呈现（文字呈现、图形呈现、图式呈现），从杭州某所小学选取三、六年级的被试各20人（每个年级学优生10人，学弱生10人），共计40名被试。通过口语报告法考察在不同呈现方式下不同年级的被试的解决问题的比率,探究问题呈现方式与小学生数学应用题的解题水平以及数学成绩的相关性。具体来说，本研究包括两个研究： 研究一是考察不同的问题呈现方式下不同年级被试解决问题的比率。
研究二：根据数学成绩选择高、低两组被试，探究他们在解决相同数学应用题时采用的表征方式是否存在差异，以及采用不同的表征方式解题的被试解题成功率是否有差异。并假设，数学成绩更高的被试可能采用图式表征法对数学应用题进行表征，并且选择图式表征的被试解题成功率明显高于选择图像表征的被试。 （二）拟解决的主要问题 大量前期研究发现，有超过一半的学生在解决数学问题时使用视觉-空间表征。并且视觉-空间表征不是不可割裂的，它是由视觉和空间两部分组成。根据Hegarty（1999）分类标准，将视觉-空间表征分为图像表征与图式表征。在教育教学领域，研究者发现学习个体的空间能力高低与其数学成就有着密切的联系，学习者对应用题的图像表征与图式表征关系到问题成功解决与否。在心理学研究领域，视觉-空间能力是人类多元智能中的其中一元，受到国内外学者的广泛关注。 以往关于数学问题的视觉-空间表征研究表明，图式表征和图像表征在对问题解决与学生成绩的影响机制上存在较大差异，使用图式表征促进题目解决，而图像表征的使用会对应用题的解决不起作用甚至产生干扰作用。Kaplan和Simon（1990）认为，问题解决过程中出现的顿悟现象是因为被试找到了合适的表征方式，适宜的表征只有当被试获得指引搜索和使搜索高度有效的强约束条件下才会出现；而问题本身的特征和相关领域的知识是强约束条件的主要来源。迄今为止已有许多研究考察图式表征和图像表征的作用机制，由于研究者的关注重点不同，研究中题目的数量、实验题目难度、实验题目呈现方式不同(贠丽萍,2004)，从而导致实验研究结果只能解释部分现象。另外，前人研究的被试来自同一个年级段,无法考察儿童使用这两类表征策略的年龄差异和发展变化情况。为此，本研究使用自编数学题，对同一题目呈现三种不同表述方式，考察题目呈现方式与问题解决比率之间的关系，并进一步说明问题表征对学生数学成绩的影响。
一、前言
1.4.1理论意义 1.4.2实践意义
二、研究一：口语报告法研究应用题表征
2.4实验结果 2.5讨论 三、研究二：控制作业法研究应用题表征
四、 总讨论
五、结论 参考文献 附录 |
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本文从最初的选题到写作，查考了大量相关文献。通过对图书馆、资料室和网络，对期刊、书籍等现存文字资料进行搜集、整理、分析，梳理关于问题表征与数学成绩关系的研究，掌握目前国内外学者对这一问题的研究情况。以此为起点，发现这一领域可研究的空白点，形成自己的研究主体。经过阅读相关文献，分析、总结相关研究，为本文奠定了一定的理论根基，积累了理论素材，使文章有据可寻。同时丰富了研究材料，使研究更加充实。
口语报告法又称出声思考，是一种较为常见的研究儿童问题解决的方法。在研究慢速的信息加工过程时，研究者很难直接观察到被试的思维过程。心理学家提出可以利用研究被试外部行为的方法，让被试用外部言语进行思考，使他的内隐的思维得以外显。口语报告法分为两种类型：同时性和追述性口语报告两种。同时性口语报告要求被试一边解决问题，一边报告他们头脑中的思考过程；追述性口语报告是要求被试在问题解决后回忆起思维的过程。考虑到同时性口语报告会影响被试在问题解决中的反应，本研究选择追述性口语报告作为实验的主要研究方法，分别对40位被试进行单独测验，记录被试对问题回答的口语报告，从而揭示不同儿童在问题解决过程中的内部心理机制。
在问题解决的研究中，控制因子是实验设计的主要方法，研究者不仅能观察到控制因子的效用，又能保持实验过程的自然属性(马茸，2019)。因此本研究采用自编数学题，自变量两种表征方式，应变量为解题速度、解题过程、解题正确率。通过控制因子考察在解决相同数学应用题时，不同年级的被试在解题过程中所使用的表征方式与数学成绩之间的关系。
研究一：不同问题呈现方式下不同年级被试解决问题的比率 从杭州某所小学随机选取三、六两个年级被试各20人，成绩包含班级排名前10人和班级后10人，共计40名被试。
采用自编小学数学应用题（一部分来自贠丽萍的研究），实验材料的表述和内容基本上符合当前学生的学习习惯和思维特点。但题目的内容与学生平时的练习和作业有较大差别，且难度范围合理。且每种类型的题目均包含三种同质的不同呈现方式的题目。
秒表，记录学生解题时间；录音笔，记录学生追述性口语报告。
实验时，以年级为单位，将每个年级的学生分成四组进行一对一考察。方法是口语报告法。主试以纸张的形式呈现测试题，要求每个被试解完每一道题目后，马上回答主试提出的问题，。即报告他们解题的思路和答案，每道题的答题时间不能超过2.5分钟。主试做好时间和语音记录，最后对被试的表征方式及解题情况进行分析和评分。 根据假设被试在不同的题目呈现方式下，其解决问题的比率是否存在差异。将确定如下规则：若被试在三种不同的题目呈现方式下解决问题，思路清晰，答案准确，得9分;能在两种呈现方式下解决问题，思路清晰，答案准确，得6分；能在一种呈现方式下解决问题，思路清晰，答案准确，得3分；如若被试口语表达清晰，答案错误，将在原来得分的基础上每题扣1分。根据得分情况，计算被试在三种题目呈现方式下成功解决问题的概率。 研究二：研究两种表征方式与解题水平、数学成绩之间的关系
研究采用控制作业法，对学优生被试与学弱生被试分发自编应用题进行测验，要求被试在纸上详细写出作答解答过程及思路。首先，研究者需要对被试的问题表征策略进行评价。若被试在卷面中通过抽象的图画或图标表示出题目中的认为空间或数量关系，则认为被试选择了图式表征。当被试的卷面中呈现出具体的视觉表象或未呈现有关信息本质的关系，都认为被试使用了图像表征。 解题水平需要用解题所需时间、解题过程及解题正确率三个因素来衡量。 解题速度的得分标准为：10分钟内完成，得5分；大于10分钟，小于12分钟，得4分；大于12分钟，小于14分钟，得3分；大于14分钟，小于16分钟得2分；大于16分钟，得1分。 解题过程与解题正确率的得分依据如下：思路清晰，有关键步骤，得5分；答案正确，得5分。 最后将被试的三个得分情况，探究两组被试采取不同的问题表征方式对其解水平和数学成绩的影响。
研究采用SPSS20.0对实验数据进行统计分析。
首先，以国内外关于问题表征的文献为基础，进行充分阅读和筛选，分析现有的研究成果，注重搜索文献的矛盾点，发现现有研究的局限性，不仅为本研究提供理论基础，并引导我开辟新的研究路径。时间上，本研究将在2020年9-11月开展，通过大四为期三个月的实习，对所在小学进行问卷发放和访谈，为研究提供了一手资料。 |
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四、研究工作的步骤与进度
（一）工作进度安排 |
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五、主要参考文献
张承义.小学数学应用题教学的现状及解题策略[J].中国教育学刊,2017(S1):148-150.仲宁宁. (2009). 小学高年级儿童应用题表征水平、工作记忆对问题解决的影响.中国特殊教育(4), 77-81.Hegarty, M. , amp; Kozhevnikov, M. . (1999). Types of visual–spatial representations and mathematical problem solving. Journal of Educational Psychology, 91(4), 684-689.
Hegarty, MaryMayer, Monk R E , et al. Comprehension of arithmetic word problems: A comparison of successful and unsuccessful problem solvers.[J]. Journal of Educational Psychology, 1995.Kintsch, W. . (1985). Understanding and solving word arithmetic problems. Psychological Review, 92(1), 109-29.辛自强.数学应用题解决研究的理论进展——兼论表征复杂性模型[J].宁波大学学报(教育科学版),2004(05):13-18.Montague, M. , Enders, C. , amp; Dietz, S. . (2011). Effects of cognitive strategy instruction on math problem solving of middle school students with learning disabilities. Learning Disability Quarterly, 34(4), 6678-6689.Kruteskii V A.The psychology of mathematical abilities in school children. University of Chicago Press,1976.105~182.傅小兰,何海东.问题表征过程的一项研究[J].心理学报,1995(02):204-210.
Zheng, X., Swanson, H. L., amp; Marcoulides, G. A. (2011). Working memory components as predictors of childrenrsquo;s mathematical word problem solving. Journal of Experimental Child Psychology, 110(4), 481-498.罗琨,康武.小学生视觉空间表征、工作记忆与数学问题解决的研究[J].社会心理科学,2011,26(Z1):216-220.
Lowrie, T., amp; Kay, R. (2001). Relationship between visual and nonvisual solution methods and difficulty in elementary mathematics. Journal of Educational Research, 94(4), 248-255.Kozhevnikov, M., Hegarty, M. , amp; Mayer, R. E. . (2002). Revising the visualizer-verbalizer dimension: evidence for two types. Cognition and Instruction,20(1), 47-77.
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资料编号：[269222]
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