- 文献综述（或调研报告）：
本文要讨论的是求反常扩散方程的数值解问题，近几十年来，在复杂系统的运输动力学研究中广泛考虑了反常扩散，如地下环境问题，多孔材料中的流体流动，生物学中的异常运输等。SpFDEs可以提供大量准确的超扩散过程描述。扩散方程是应用做多的偏微分方程（PDEs）之一，其应用可以在许多领域找到，包括生物学，化学，物理学，金融学等。解决方程的弱奇性问题一直是偏微分方程领域研究的热门。
文献中已经给出了一些数值方法，其中的有限差分法是最流行和有效的方法之一。在经典的反应扩散方程中，标准拉普拉斯算子描述了这种方程，表征了布朗运动引起的传输力学。最近，有人提出许多复杂的（例如生物和化学）系统是以运动为特征，而不是布朗运动。因此，经典的反应-扩散模型无法正确描述这些系统中的现象。为了避免这些问题，提出了分数阶反应-方程，其中经典拉普拉斯算子被分数阶拉普拉斯算子[3]代替。与经典扩散模型相比，分数阶模型在描述长程相互作用问题方面具有显着优势。
在文献[1]中介绍了一种精确的有限差分方法来离散超奇异积分形式的二维和三维分数拉普拉斯算子，并将其应用于求解分数阶反应-扩散方程。文章的关键思想是将分数阶拉普拉斯算子的强奇异函数。文章中的方法将分数拉普拉斯算子表示为中心差商的加权积分，然后通过加权梯形法则逼近它。众所周知，由于大且致密的刚度矩阵，求解分数偏微分方程的计算成本是非常昂贵的。 文章的方法的一个优点是它导致对称块Toeplitz矩阵。 基于此属性，文章通过快速傅里叶变换（FFT）开发了一种快速算法，以便有效地计算分数反应 - 扩散方程。
在文献[2]中利用外推方法提出了一种有效的算法，这种算法提高了求解具有非光滑解分数阶边值问题的有限差分格式的计算精度。此算法易于实现，适用于各种有限差分格式，并能显著提高具有弱奇点的SpFDEs数值解的精度。算法将考虑的u分解为光滑部分和非光滑部分处理以获得更高精度的解。然后我们采用外推和后验误差校正技术来恢复数值解的高阶精度。与非均匀网格上的有限差分格式相比[4]，该算法保持了有限差分格式的类似Toeplitz结构，允许低存储和快速算法的使用[5,6]是其一个显著的特征。尽管所提出的算法将导致额外的成本，但是存储和计算成本的增加是可接受的。
[1]Duo, Siwei amp; Zhang, Yanzhi. (2018). Finite difference methods for two and three dimensional fractional Laplacian with applications to solve the fractional reaction-diffusion equations.
[2] Hao Z.P., Cao W.R.An improved algorithm based on finite difference schemes for fractional boundary value problems with nonsmooth solutionJ.
Sci. Comput., 73 (2017), pp. 395-415
[3] D. del Castillo-Negrete, B. A. Carreras, and V. E. Lynch. Front Dynamics in Reaction-Diffusion Systems with Levy Flights: A Fractional Diffusion Approach. Phys. Rev. Lett., 91:018302, 2003.
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